Klaus Rohwer 

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Fehlerrechnung zur Kapazitätsmessung

Wie groß ist die zu erwartende Genauigkeit des Kapazitätsmeßgeräts? Aus den gemessenen Werten der zeitbestimmenden Widerstände und der Ungenauigkeit des verwendeten Digitalmultimeters kann man die resultierende Ungenauigkeit des Pulsdauer-nach-Kapazität-Umrechnungsfaktors bestimmen. Dazu muß man zunächst voraussetzen, daß die am Spannungsteiler eingestellten Schwellenspannungen nicht den Sollwert von 1/3 U_B und 2/3 U_B , sondern willkürliche Werte haben (Die durch die trotz Kompensation verbleibenden Offsetspannungen der Operationsverstärker werden vernachlässigt).

Da sind zunächst einmal die Meßwerte der drei Teilspannungen am Spannungteiler. Sie seien mit U₁, U₂ und U₃ bezeichnet:

U₁ + U₂ + U₃ = U_B.        (8)

Dann gilt mit den Bezeichnungen im Text (Gleichung. 2 und 3):

U_x (t₁) = U₁,        (9)
U_x (t₂) = U₁ + U₂.        (10)

Mit Gleichung 1 ergibt sich anstelle der Gleichungen 4 und 5:

exp (-t1/RCx) = 1 - U1/UB

⇒

t1/RCx = -ln(1 - U1/UB) = ln(UB/(U2 + U3))

(11)

exp (-t2/RCx) = 1 - (U1 + U2)/UB

⇒

t2/RCx = -ln(1 - (U1 + U2)/UB) = ln(UB/U3)

(12)

Mit der Impulsdauer Δt = t₂ - t₁ ergibt sich entsprechend Gl. 6:

Δt/RC_x = ln(U_B/U₃) - ln(U_B/(U₂ + U₃)) = ln((U₂ + U₃)/U₃).        (13)

(Das Ergebnis ist übrigens unabhängig von U₁, weshalb wir auf ein Nachmessen dieser Spannung beim Abgleich verzichten können.) Die Größe, die uns interessiert, ist die Abweichung von Δt/C_x, genannt δ(Δt/C_x), in Abhängigkeit von δU₂, δU₃, und δR. Dazu bilden wir zunächst das vollständige Differential von Δt/C_x,

d(Δt/C_x) = dR×ln(U₂/U₃+1) + dU₂×R/(U₂+U₃) + dU₃×(-R×U₂)/((U₂+U₃)×U₃).        (14)

Für die Fehlerrechnung sind die Terme rechts in Gl. 14 einzeln zum Betrag zu nehmen (worst case), was beim letzten Summanden das Vorzeichen umkehrt. Damit und mit Gl. 13 folgt für die relative Abweichung von Δt/C_x:

δ(Δt/C_x)/(Δt/C_x) = δΔt/Δt = δR/R + 1/ln((U₂+U₃)/U₃) × (δU₂/(U₂+U₃) + δU₃ × U₂/(U₃(U₂+U₃)))        (15)

An dieser Stelle kann man wieder die Sollwerte einsetzen:

U₁ = U₂ = U₃ = 1/3U_B =: U.        (16)

Da U₁, U₂ und U₃ mit demselben Meßgerät im selben Meßbereich gemessen werden, gilt:

δU₁ = δU₂ = δU₃ =: δU.        (17)

Damit ergibt sich:

δΔt/Δt = δR/R + δU/(U ln2).        (18)

Diese Formel gilt für den worst case; der wahrscheinlichste Fehler ist geringer:

δΔt/Δt = ((δR/R)2 + 1/2 × (δU/U)2 × 1/(ln2)2 )1/2.

(19)

Beispiele:

3½-stelliges DMM

Für ein solches Meßgerät sind beispielsweise folgende (Un-)Genauigkeiten spezifiziert:

δR/R = 0,5% + 1 Digit (2 MW-Bereich),
δU/U = 0,5% + 1 Digit (2 V-Bereich).

Mit Gl. 18 wird daraus im vorliegenden Fall:

δR/R = 0,005 + 1 kW/1,443 MW = 0,0057
δU/U = 0,005 + 1 mV/ (5/3)V = 0,0056

Daraus folgt für die Genauigkeit des damit abgeglichenen Kapazitätsmeßgeräts:

δΔt/Δt = 0,0057 + 0,0056 / 0,69 = 0,014 = 1,4 % (worst case), bzw.
δΔt/Δt = 0,81 % (wahrscheinlichster Fehler).


4½-stelliges DMM

Dafür sind beispielsweise folgende (Un-)Genauigkeiten angegeben:

δR/R = 0,15% + 3 Digits (2 MW-Bereich),
δU/U = 0,05% + 3 Digits (2 V-Bereich).

Im vorliegenden Fall wird daraus:

δR/R = 0,0015 + 300 W/1,4427 MW = 0,0017
δU/U = 0,0005 + 300 µV/ (5/3)V = 0,00068

Daraus folgt für die Genauigkeit des damit abgeglichenen Kapazitätsmeßgeräts:

δΔt/Δt = 0,0017 + 0,00068 / 0,69 = 0,0027 = 0,27 % (worst case), bzw.
δΔt/Δt = 0,18 % (wahrscheinlichster Fehler).

In der Praxis muß man beachten, daß der Frequenzzähler noch einen zusätzlichen Fehler produziert, meist 1 Digit in der letzten angezeigten Stelle.


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